Solução
2. Seja X uma variável aleatória cuja função de probabilidade é a seguinte: $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline f(x) & 0.1 & 0.3 & 0.4 & 0.1 & 0.05 & 0.05 \\\hline \end{array} $$ a) Represente graficamente a respectiva função acumulada de massa.
b) Calcule \( P(X \lt 4.5), P(X≥2), P(2≤X \lt 4.5)\).
Solução
3. A procura do produto X (em toneladas) é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade: $$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} \frac{1}{2}-\frac{x}{8} & 0 \leq x \leq 4 \\ 0 & outros \ valores \end{array} \right. $$ a) mostre que se trata de uma função densidade de probabilidade e faça a sua representação gráfica;
b) calcule a probabilidade da procura do produto X estar entre 1 e 3 toneladas;
c) determine a procura esperada para o produto X.
Solução
4. A variável aleatória X é caracterizada pela seguinte f.d.p.: $$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} x^2 \ , & -1 \lt x \leq 0 \\ x \ , & 0 \lt x \leq 1 \\ \frac{1}{12} \ , & 1 \lt x \lt 3 \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$ a) verifique que se trata de uma f.d.p..
b) determine F(x).
c) calcule \(P(X \lt 1/2), \ P(X \geq -2/3) \ e \ P(1/2 \lt X \lt 2) \).
5. O verdadeiro peso de sacos de um quilo de café de certa marca é aleatório e (segundo uma organização de defesa do consumidor) apresenta uma densidade de probabilidade uniformemente distribuída entre 0,80 Kg e 1,05 Kg:
$$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} k \ , & 0.80 \lt x \lt 1.05 \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$ a) Calcule k.
b) Determine F(x).
c) Qual é a probabilidade de um saco de café da referida marca pesar menos de 1 Kg?
d) Da produção total dessa marca, qual é a percentagem de sacos com peso superior ao indicado no rótulo?
Solução
6. Imagine que logo à noite vai vender cachorros para a “Rua do Crime”. As probabilidades que atribui às quantidades que espera vender são: $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 80 & 90 & 100 & 110 & 120 & 130 & 140 \\\hline f(x) & 0.05 & 0.1 & 0.25 & 0.35 & 0.1 & 0.1 & 0.05 \\\hline \end{array} $$ a) Calcule a probabilidade de vender pelo menos 120 cachorros.
b) Qual é a sua venda esperada? Calcule igualmente a variância do volume de vendas. Comente o resultado.
c) Suponha que compra cada cachorro por 1,50 € e vende por 2,50 €. Assim, por cada cachorro que venda ganha 1,00 € e por cada cachorro que fique por vender perde 1,50 €. Qual é o lucro esperado se comprar 110 cachorros?
7. O director de compras de uma determinada empresa pretende definir uma política de aquisição de matéria prima para o próximo ano. As necessidades de matéria prima por dia (em milhares de toneladas) são uma variável aleatória continua com f.d.p.: $$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} 1-\frac{x}{2} \ , & 0 \lt x \lt k \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$ a) Calcule k.
b) Se quiser que a probabilidade de rutura do stock de matéria prima seja igual a 0,02, qual é o nível de abastecimento que deve ser assegurado diariamente?
c) Suponha que ele resolveu manter um nível de stocks que lhe assegure que a probabilidade de rutura é de 0,02. A administração propôs dar-lhe um prémio de 10 € por cada dia em que não houvesse rutura, mas cobrar-lhe uma multa de 500 € sempre que tal se verificasse. Acha que é de aceitar? Justifique.
8. O tempo, em horas, que um computar funciona sem problemas é uma variável aleatória contínua com f.d.p. dada por: $$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} \lambda e^{-x/100} \ , & x \geq 0 \\ 0 \ , & x \lt 0 \end{array} \right. $$ a) calcule a probabilidade de um computador funcionar entre 50 e 150 horas sem qualquer problema;
b) qual é a probabilidade dele funcionar menos de 100 horas?
Solução
9. Considere a seguinte f. d. p.: $$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} 2x-1 \ , & \frac{1}{2} \leq x \leq k \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$ a) Calcule k de modo a a f(x) ser uma f. d. p. e represente a função.
b) Calcule b de modo a que \( P(X \leq b)=0.5\).
10. Considere a seguinte função de probabilidade: $$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} \frac{x^2}{14} \ , & x=1,2,3 \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$ a) Mostre que esta função de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer função probabilidade e represente-a graficamente.
b) Deduza a função de distribuição e represente-a graficamente.
c) Calcule \( P(X = 1 | X \leq 2) \).
11. Considere a V. A. X, contínua, com função densidade de probabilidade dada por: $$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} \frac{1}{2} x \ , & 0 \lt x \lt 2 \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$ a) Mostre que se trata de uma f. d. p. e faça a sua representação gráfica.
b) Deduza a f. de distribuição – F(x) – e represente-a graficamente.
c) Calcule \( P(X \leq 1) \), \( P( \frac{1}{4} \lt X \leq \frac{1}{2} \) e \( P(X \gt \frac{2}{3}) \).
d) Calcule \( P(X \lt 1 | \frac{1}{2} \lt X \lt 2) \).
12. Determine E(X) e Var(X) das seguintes distribuições: $$ a) \ \ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} \frac{x^2}{14} \ , & x=1,2,3 \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$ $$ b) \ \ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} x^2 \ , & -1 \lt x \leq 0 \\ x \ , & 0 \lt x \leq 1 \\ \frac{1}{12} \ , & 1 \lt x \lt 3 \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$
13. Um treinador de andebol tem à sua disposição 20 jogadores dos quais deve seleccionar 10 para formar uma equipa para um jogo. 12 dos jogadores são atacantes e os restantes são defesas. a) Se o selecionador escolher ao acaso uma equipa, diga qual a distribuição (e os respetivos parâmetros) da v.a. X= número de atacantes escolhidos para a equipa de 10 jogadores?
b) Calcule a probabilidade de, uma equipa escolhida ao acaso, ser formada por 6 atacantes.
14. Considere a v.a. contínua, X com função densidade de probabilidade dada por: $$ f(x) =\left\{ \begin{array}{l l} a \ , & 1 \lt x \lt 2 \\ \frac{a}{2}x \ , & 2 \leq x \lt 4 \\ 0 \ , & outros \ valores \end{array} \right. $$ a) Determine o valor da constante \(a\) e deduza a função de distribuição.
b) Qual o valor de b que verifica a igualdade \(P(X \lt b) = P(X \gt b)\)?
c) Indique o valor da mediana da v.a. X.
d) Determine a \(P(X \leq 1.5|1.2 \lt X \lt 1.6)\).