1. Certo equipamento de empacotamento automático encontra-se regulado para encher embalagens de um quilo de certo produto.
O seu deficiente funcionamento origina prejuízo para a empresa: se a maioria das embalagens têm peso inferior ao estabelecido, haverá reclamações por parte dos clientes e perda de prestígio; peso excessivo será por outro lado, anti-económico.
Aceita-se, da experiência passada que o peso das embalagens se comporta normalmente com uma dispersão dada por \(\sigma = 12\) gramas.
Para verificar a afinação do equipamento, seleccionaram-se em certo período, nove embalagens cujos pesos exactos foram anotados (em gramas):
$$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 983 & 992 & 1011 & 976 & 997 & 1000 & 1004 & 983 & 998\\\hline
\end{array}
$$
a) construa intervalos de confiança para \(\mu\), com os seguintes graus de confiança: 90%, 95% e 99%; como varia a precisão do intervalo (a sua amplitude) com o grau de confiança?
b) suponha que, em vez da amostra de nove embalagens, tinha sido obtida outra de 100 embalagens, que após os necessários cálculos, tinha fornecido um peso médio de 994 gramas. Construa novo intervalo de confiança, a 95%, com base nesta segunda amostra. Que ilacção retira do aumento do tamanho da amostra?
c) qual deverá ser o tamanho da amostra a recolher, de tal forma que a amplitude do intervalo (a 95%) seja de 2?
Construa um intervalo de confiança para a diferença entre os tempos médios de execução da tarefa. Será de supor que um dos métodos é mais vantajoso?
Para \(\alpha=0.05\) será legítimo afirmar que a distribuição das capacidades dos depósitos dos carros não americanos tem maior dispersão?
2. Estamos interessados em determinar a verdadeira quantidade de água em garrafas de 2 litros. A secção de engarrafamento informa que o desvio padrão é de 0,05 litros. Uma amostra aleatória de 100 garrafas de 2 litros tem uma quantidade média de 1,99 litros. Construa um intervalo de confiança de 99% para a quantidade de água contida em cada garrafa.
3. Em determinada comunidade a preferência individual pela liquidez é uma variável aleatória com distribuição normal de parâmetros desconhecidos. Foram inquiridos 25 indivíduos da comunidade sobre as respectivas preferências, o que proporcionou os seguintes resultados: \(\bar{X}= 0,4\) e \(S^2 = 0,25\). a) Que pode afirmar sobre a preferência pela liquidez média da comunidade? (Sugestão: considere \((\alpha=0.10)\) b) Admita que \(\sigma^2 = 0,25\) que pode afirmar agora com esta informação adicional
4. O gerente de uma instituição bancária pretende estimar o valor médio dos depósitos. Uma amostra aleatória de 30 depositantes indica uma média de 47,50 € e um desvio padrão de 12,00 €. Construa um intervalo de confiança a 95% para estimar a média da população.
5. A polícia rodoviária fez, recentemente, uma investigação secreta sobre as velocidades desenvolvidas na estrada, no período entre as 2 e as 4 horas da manhã. No período de observação, 100 carros passaram por um aparelho de radar a uma velocidade média de 85 Km/h, com um desvio padrão de 15 Km/h. a) Estime a verdadeira média (estimativa pontual) da população. b) Descreva a população. c) Construa um intervalo de confiança a 98% para estimar a média da população. d) Qual o erro máximo associado ao intervalo determinado em c)?
6. De um total de 100 notas em Métodos Quantitativos, uma amostra aleatória de 25 notas acusa média de 13 e desvio padrão de 2. a) Construa um intervalo de confiança a 95% para estimar a média da população b) Com que grau de confiança poderíamos afirmar que a média das 100 notas é 13 ± 1?
7. Um fabricante produz peças de diâmetro especificado em 100 milimetros. Querendo estimar o verdadeiro diâmetro num grande lote a fornecer ao seu maior cliente, seleccionou 25 peças ao acaso, que depois de medidas forneceram os seguintes valores: \(\sum{x_i} = 2530\) mm \(\sum (x-\bar{x})^2 = 384\) \(mm^2\) a) identifique o universo a ser objecto de estudo; b) apresente uma estimativa para o diâmetro médio do lote; c) faça o mesmo através de um intervalo com um grau de confiança de 99%. Que vantagens resultam de indicação do intervalo de confiança, em relação à estimativa pontual da alínea b)? d) quantas peças deveriam ser incluídas na amostra, se se pretendesse aumentar a precisão do intervalo - reduzir a sua amplitude para 3 mm.
8. Procedeu-se ao estudo das flutuações de preços, a curto prazo, no mercado internacional, de uma certa matéria prima. Em 16 semanas sucessivas, os preços observados foram os seguintes (em dólares/tonelada): $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 20 & 23 & 25 & 21 & 18 & 17 & 19 & 20 \\\hline 24 & 27 & 20 & 18 & 19 & 21 & 21 & 25 \\\hline \end{array} $$ Admite-se que o preço desta matéria é uma variável aleatória com distribuição normal. a) Estime a média e a variância (estimativas pontuais) da população. b) Construa intervalos de confiança a 95% para os verdadeiros valores desses parâmetros.
9. Suponha que analisa a viabilidade de um projecto cujo elemento fundamental é o preço da matéria prima A. O “comportamento” do preço de A, em 16 observações, indica: \(\bar{X}= 0,95\) \( \sum{( Xi – \bar{X})^2} = 2,56\) Construa um intervalo de confiança para \(\sigma^2\) com \(\alpha=0,10\).
10. Duas amostras de 4 observações independentes tiradas da mesma população conduziram aos seguintes resultados: $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 75 & 70 & 60 & 75 \\\hline 52 & 60 & 42 & 58 \\\hline \end{array} $$ Construa um intervalo de confiança a 95% para o verdadeiro valor da variância utilizando: a) a primeira amostra; b) a segunda amostra; c) as duas amostras conjuntamente. Nota: admita que a população tem distribuição normal.
11. X é uma variável aleatória, com distribuição normal e parâmetros \(\mu_x\) e \(\sigma_x\), que representa o consumo, em litros, aos 100 Km. Nove viaturas fizeram um mesmo percurso, num total de 100 Km, tendo-se registado os seguintes valores: $$ \bar{x}=6 \sum_{i=1}^9 x_i^2=333 $$ Construa intervalos de confiança a 95% a) Para a média; b) Para a variância.
12. Suponha que a variância de certa característica de um produto, fabricado em série, deve ser igual a 4, de acordo com as normas de fabrico. Existindo indícios de que os produtos apresentam essa característica com variância superior à estipulada, foi recolhida uma amostra de 9 artigos desse produto que forneceram os seguintes resultados: $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 5 & 7 & 2 & 4 & 8 & 9 & 8 & 6 & 5 \\\hline \end{array} $$ Através da construção de um intervalo de confiança apropriado (90% de confiança) diga se será de admitir que a variância da característica em causa continue a ser 4.
13. Numa sondagem realizada a 50 pessoas encontrou-se 0,25 para a frequência de um dado atributo. Construa um intervalo de confiança a 95% para π (proporção no conjunto da população).
14. Um auditor de uma seguradora pretende determinar a proporção de pedidos de baixa que são pagos em 2 meses. De uma amostra de 200 pedidos, 80 foram pagos em 2 meses. Construa um intervalo de confiança a 99% para estimar a verdadeira proporção de pedidos pagos em 2 meses.
15. Uma sondagem pretende estimar a proporção de votos do partido A nas próximas eleições. Pretende-se um intervalo de confiança a 90% e um erro não superior a 0,04 em relação ao verdadeiro valor. Qual é a dimensão apropriada da amostra?
16. Uma amostra aleatória de 100 eleitores de certo distrito eleitoral dá 55% como favoráveis a determinado candidato. a) Construa um intervalo de confiança a 99% para a proporção global de eleitores favoráveis a esse candidato. b) Qual o tamanho da amostra necessário para termos 95% de confiança em que o candidato será eleito?
17. Uma empresa agrícola tem ao seu serviço dois tractores idênticos. O consumo de combustível por hora de trabalho em cada um deles é uma variável aleatória com distribuição Normal de parâmetros desconhecidos. Para efeitos de controlo de consumo, obteve-se ao acaso a seguinte amostra, respeitante ao tractor n.º 1: $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 9.0 & 9.5 & 9.8 & 9.4 & 10.0 & 10.2 & 9.6 & 9.7 & 9.5 \\\hline \end{array} $$ a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a média. b) Construa um intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão. c) Posteriormente, obteve-se uma amostra casual referente ao tractor número 2: $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 10.0 & 9.6 & 9.9 & 9.7 & 10.1 \\\hline \end{array} $$ Partindo do princípio que não há razão para supor diferenças no desvio padrão do consumo nos dois tractores, construa um intervalo de confiança a 95% para a diferença de médias de consumo.
18. Para testar o grau de receptividade do público a determinado programa, efectuou-se um inquérito em duas cidades A e B, tendo-se obtido os seguintes resultados: $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|} \hline & Telespectadores \; inquiridos & Opiniões \; favoráveis \\\hline Cidade \; A & 500 & 300 \\\hline Cidade \; B & 450 & 360 \\\hline \end{array} $$ a) Obtenha intervalos de confiança a 95% para a verdadeira proporção de apreciadores do programa, nas duas cidades. b) Obtenha ainda um intervalo de confiança a 95% para a diferença de proporções.
19. Duas marcas de comprimidos, um deles contendo aspirina, são anunciados como fazendo desaparecer a dor de cabeça em tempo recorde. Foram feitas experiências com cada um deles, tendo os resultados (tempo em minutos) sido os seguintes:
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20. Pretende-se investigar o nível de remunerações de certa categoria profissional. Dentre os resultados obtidos destacaram-se os seguintes (em u. m.): $$ \text{Amostra de 150 mulheres:}\;\;\; \bar{x} = 31\;\;\; S^2 = 10.3\\ \text{Amostra de 250 homens:}\;\;\; \bar{x} = 33.8 \;\;\; S^2 = 5.7 $$ Através da construção de um intervalo de confiança, diga se será de aceitar a tese de que existe desigualdade entre os sexos no tocante ao nível de remuneração.
21. Numa experiência industrial, uma certa tarefa foi realizada por 12 operários, primeiro de acordo com o método A e em seguida segundo o método B. Os dados que se seguem fornecem os resultados obtidos (tempos em minutos):
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22. A administração do Hotel Novo pretende saber a idade média dos seus clientes que frequentam o bar depois da 22:00h. Neste sentido, recolheu uma amostra aleatória de 150 clientes para os quais registou a idade. Com base nestes dados que conclusão pode ser apresentada à administração.
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tabela 1
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23. Após a pesagem de 12 meloas provenientes da mesma plantação, obteve-se para o valor médio do peso X de um meloa (que se supõe normalmente distribuído), o intervalo de confiança de amplitude mínima a 95%: (390 gr; 520 gr). a) Deduza o valor médio e o desvio padrão do peso das meloas que constituem a amostra; b) Determine um intervalo de confiança a 95% para o desvio padrão de X.
24. Em certo distrito, 840 dos 2000 eleitores inquiridos numa sondagem, declararam ir votar no partido A. a) construa um intervalo de confiança a 95% para a percentagem de eleitores do partido A e interprete o resultado obtido; b) se tivessem sido inquiridos 4000 eleitores e 1680 tivessem declarado preferir o partido A (mantendo-se portanto a mesma percentagem na sondagem), qual seria agora o intervalo de confiança a 95%? c) que ilacção retira dos valores encontrados nas duas alíneas anteriores?
25. Dois processos de fabrico são utilizados na produção de determinado componente. Com o objectivo de os comparar, recolheu-se uma amostra de 200 componentes do primeiro processo dos quais 24 foram rejeitados por deficiências, o mesmo aconteceu a 21 componentes numa amostra de 300 do segundo processo. Com base num intervalo de confiança a 90% pode concluir-se que o segundo processo é melhor?
26. O fabricante de certa droga medicinal reivindicou que ela era muito eficaz nos casos de insónia. Recolhida uma amostra de 250 pessoas, verificou-se que a droga corou 190. a) Qual o intervalo de confiança a 95% para a proporção de eficácia da droga? b) Que dimensão deveria ter a amostra de docentes a recolher, para que a proporção p de eficácia da droga se situe num intervalo de amplitude 0,10 com um nível de confiança de 99%?
27. Dois processos de fabrico são utilizados na produção de determinado componente. Com o objectivo de os comparar, recolheu-se uma amostra de 200 componentes do primeiro processo dos quais 24 foram rejeitados por deficiências, o mesmo aconteceu a 21 componentes numa amostra de 300 do segundo processo. Com base num intervalo de confiança a 90% pode concluir-se que o segundo processo é melhor?
28. Observou-se durante 20 dias o consumo diário de leite (em litros) num dado infantário, tendo-se constatado ser normalmente distribuído. Os resultados foram os seguintes: \(\bar{x}\) = 27 e \( S^2\) = 1. a) Pretendendo-se estimar por intervalos o consumo médio diário de leite, obteve-se a seguinte estimativa (26,6034 ; 27,6563). Determine o grau de confiança que lhe está associado. Verifique que não é o intervalo de confiança de amplitude mínima. Comente. b) Construa um intervalo de confiança a 95% para a variância da população.
29. Para testar dois novos tipos de milho A e B em condições normais de cultura, uma companhia seleccionou aleatoriamente 8 quintas e em cada uma delas plantou sementes de ambos os tipos em talhões separados. Os resultados da colheita, em alqueires por hectare, foram os seguintes: \(\bar{x}_A\) = 81.625 \( \bar{x}_B \) = 75.875 \(S^{'2}_A \) = 232.41073 \(S^{'2}_B \) = 102.12502 Supondo que ambos os resultados são normalmente distribuidos e com a mesma variância, estime um intervalo de confiança a 95% para a diferença entre as médias dos resultados.
30. Duas variáveis aleatórias X1 e X2 seguem dist. normal com variâncias \(\sigma_1^2\)=3.64 e \(\sigma_2^2\)=4.03 respectivamente. Construa um intervalo de confiança a 95% para a diferença entre as suas médias (\(\mu_1 - \mu_2\)), sabendo que em amostras recolhidas se obtiveram os seguintes resultados: Amostra 1 \(n_1\) = 32 \(\bar{x}_1\) = 16.2 Amostra 2 \(n_2\) = 40 \(\bar{x}_2\)= 14.85
31. A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas fluorescentes, fabricadas por determinada companhia, é de 1750 horas, com desvio padrão de 120 horas. Se μ for a vida média de todas as lâmpadas fabricadas pela companhia, teste a hipótese μ=1600 horas contra a hipótese alternativa μ≠1600 horas, utilizando um nível de significância de: a) 0,05 b) 0,01
32. Teste para o mesmo caso, a hipótese μ=1600 horas contra a hipótese alternativa μ > 1600 horas utilizando um nível de significância de: a) 0,05 b) 0,01
33. Uma empresa industrial tem vindo a utilizar, para custo – padrão de certo produto, o valor de 20 €/t. O cálculo real para 25 desses produtos, escolhidos ao acaso, conduziram a um custo médio (suposto variável aleatória com distribuição normal) de 23 €/t e uma variância de 36. Pretende-se saber se há razões para abandonar o valor de 20 €/t para o custo padrão.
34. Os dados seguintes referem-se ao número de vendas do produto A, numa amostra de 10 lojas. $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 8 & 11 & 0 & 4 & 7 & 8 & 10 & 5 & 8 & 3 \\\hline \end{array} $$ a) Para \(\alpha=0.05\) há indícios de que as vendas médias do produto A sejam superiores a 5? b) Qual a hipótese que se deve assumir para elaborar o teste? Solução
35. Em relação ao problema 3 (II – Intervalos de Confiança) haverá indícios de que o depósito médio não seja 50.00 €? (Sugestão: faça \(\alpha=0,05\)) Solução
36. Uma empresa conserveira assegura aos compradores das suas latas de atum que o peso médio líquido é de 120 gramas. O responsável pelo controlo de qualidade detectou que, numa amostra de 12 latas de conserva, o peso médio era de 117.75 g com desvio padrão de 1.5 g. Poder-se-á rejeitar a afirmação da empresa, a um nível de significância de 10%?
37. No passado, o desvio padrão dos pesos de sacos de 50 Kg, enchidos por determinada máquina, era de 0.30 Kg. Extraiu-se uma amostra de 20 sacos que acusaram um desvio padrão de 0.38 Kg. O aumento aparente de variabilidade é significativo ao nível de: a) 0,05 b) 0,01
38. Em relação ao problema 3 do capítulo anterior (Intervalos de Confiança), para \(\alpha=0.05\), há indícios de que \(\sigma > 10\)?
39. O preço de mercado de certo produto está sujeito a amplas e frequentes flutuações em torno de um valor médio - 10 - relativamente estável. Admite-se que este preço possa ser encarado como uma variável aleatória de comportamento aproximadamente normal. O valor que é admitido para a variância da distribuição é tal que há 95\% de probabilidades de que o preço se estabeleça no intervalo (4.12 ; 15.88). Se o verdadeiro valor de variância for maior, a situação no mercado tende a tornar-se caótica. a) Considerada uma sucessão de 16 observações de preços, obteve-se: $$\bar{x}=12 \; e \; S^{'2}=10$$ Para \(\alpha=0.05\), que conclusão pode tirar? b) Posteriormente, introduziram-se as alterações no modo de funcionamento do mercado tendentes a reduzir as flutuações de preços antes verificadas. Suponha que se fizeram 13 observações de preços tendo-se obtido: $$\bar{x}=11 \; e \; S^{'2}=9$$ Para \(\alpha=0.05\), será de concluir pela eficácia das medidas introduzidas?
40. Um caçador diz que abate 80% das aves a que atira. Concordaria com ele se, num determinado dia, acertasse em 90 num total de 150? (sugestão: use um nível de significância de 0,05)
41. Um jogador de basquetebol ganha 60% dos ressaltos. Se em 100 lançamentos ele ganhar 70, diria que a sua qualidade de ressaltos melhorou? (Sugestão: use um nível de significância de 0,05)
42. Em relação ao problema 13 do capítulo anterior (Intervalos de Confiança) suponha que a companhia seguradora espera pagar 50% dos pedidos de baixa em 2 meses. Para α=0,05, há indícios de que a companhia seguradora não pague 50% dos pedidos de baixa em dois meses?
43. Um curso de matemática é ensinado a 12 alunos pelo método convencional. A um segundo grupo de 10 alunos foi ensinado o mesmo programa segundo um método moderno. No fim do semestre o mesmo exame foi dado a cada grupo de alunos. Os primeiros 12 alunos obtiveram um resultado médio de 85 com desvio padrão de 4, enquanto os segundos 10 alunos obtiveram uma média de 81 com desvio padrão de 5. Para \(\alpha=0.10\), teste a igualdade das médias, supondo que as populações são aproximadamente normais e de igual variância.
44. Um teste de Economia é feito por 50 raparigas e 75 rapazes. As raparigas obtiveram um resultado médio de 76 com desvio padrão de 6, enquanto os rapazes obtiveram um resultado médio de 82 com um desvio padrão de 8. Teste a hipótese de que as médias dos resultados para rapazes e raparigas difira de 4. Considere um nível de significância adequado.
45. Pretende-se determinar se existem diferenças na qualidade das lâmpadas produzidas por 2 tipos de máquinas. O desvio padrão é de 110h para a máquina A e 125 h para a máquina B. Uma amostra aleatória de 25 lâmpadas, produzidas na máquina A, indica uma duração média de 375 h, enquanto uma amostra de igual dimensão indica uma duração média de 362 h para as lâmpadas produzidas na máquina B. Para \(\alpha=0.05\) há indícios de que a duração média das lâmpadas produzidas na máquina A seja superior à duração média das lâmpadas produzidas na máquina B?
46. Os seguintes dados representam a capacidade dos depósitos de uma amostra de 10 carros americanos e não americanos:
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tabela 1
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47. Pretende-se determinar se existe diferença na popularidade do futebol entre indivíduos com e sem frequência do ensino superior. De uma amostra de 100 indivíduos, com frequência do ensino superior, 35 consideraram-se fãs do futebol. De uma amostra de 200 indivíduos, sem frequência do ensino superior, 125 consideraram-se fãs do futebol. Para \(\alpha=0.01\), será legítimo afirmar que a popularidade do futebol não é idêntica nos dois grupos?
48. Decidiu-se realizar uma votação entre os residentes de uma cidade e dos seus subúrbios para decidir se um centro cívico seria ou não construído. A proposta indica o local de construção dentro dos limites da cidade e, por esta razão, muitos votantes dos subúrbios pensam que esta proposta será aprovada devido à grande proporção de votantes da cidade que favorecem a construção. Para determinar se há diferença significativa na proporção de votantes da cidade e de votantes dos subúrbios que favorecem a proposta decidiu-se recolher uma amostra. Se 120 de 200 votantes da cidade favorecem a proposta e 240 em 500 votantes do subúrbio também favorecem, concordaria que a proporção dos votantes da cidade que favorecem a proposta é maior do que a proporção de votantes do subúrbio? Use um nível de significância de 0.05.
| 49. Suponha que, numa determinada produção, o peso dos sacos de café é normalmente distribuído com desvio padrão 10 gramas. Admita, ainda, que a máquina de enchimento está regulada para sacos de 500 gramas. Nestas condições, para aferir o funcionamento da máquina analisou-se uma amostra de 9 sacos aleatoriamente retirados da produção e definiu-se que se rejeitava de bom funcionamento da máquina se \(\bar{X} > 510\) gramas. a) Calcule a probabilidade de cometer um erro de primeira espécie. b) Se o verdadeiro peso médio dos sacos for igual a 505 gramas, calcule a probabilidade de aceitar a hipótese de bom funcionamento. c) Admitindo que o peso médio de todos os sacos é igual a 505 gramas, qual deverá ser o tamanho da amostra a retirar da população se pretender cometer um erro de segunda espécie inferior a 15%, mantendo o mesmo erro de primeira espécie? |
50. Determine, com base nos dados abaixo, se a verdadeira proporção de donas de casa que preferem o detergente A ao detergente B é a mesma nas três cidades: $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Favorecem A} & \text{Favorecem B} \\\hline \hline \text{Portimão} & 232 & 168 \\\hline \hline \text{Albufeira} & 260 & 240 \\\hline \hline \text{Faro} & 197 & 203 \\\hline \end{array} $$ (sugestão: faça \(\alpha= 0.05\))
51. O quadro seguinte é baseado num estudo que relaciona a raça com o tipo de sangue. $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline & \text{O} & \text{A} & \text{B} & \text{AB}\\ \hline \text{Raça 1} & 176 & 148 & 96 & 72 \\\hline \text{Raça 2} & 78 & 50 & 45 & 12 \\\hline \text{Raça 3} & 15 & 19 & 8 & 7 \\\hline \end{array} $$ Usando um nível de significância de 0.01 teste a hipótese de a raça e o tipo de sangue não estarem relacionados.
52. Uma firma tem seguido a politica de oferecer uma garantia de 2000 utilizações para determinado aparelho que vende. Esse procedimento baseia-se em estudos levados a efeito no período inicial de produção, que indicaram um número médio de utilizações possíveis por aparelho de 2060 com variabilidade traduzida por \(\sigma\) = 20. Existindo indícios de que presentemente a situação pode ter mudado (diferente qualidade dos materiais utilizados, condições de fabrico alteradas, etc.), pretende-se averiguar se continua a ser de 2060 o no médio de utilizações possíveis por aparelho. Proceda ao ensaio apropriado (supondo que \(\sigma\) se mantém), sabendo que 10 aparelhos seleccionados ao acaso e testados pela firma forneceram os seguintes valores:
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tabela 1
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53. O departamento de controle de qualidade de uma firma produtora de conservas de alimentos específica que o peso líquido médio por embalagem de certo produto deve ser de 500 gramas. Experiência passada indica que os pesos são normalmente distribuidos com desvio-padrão \(\sigma\)=15 gramas. Se numa amostra de 20 embalagens for encontrado um peso líquido médio de 495 gramas, constitui isso prova suficiente de que o verdadeiro peso médio é inferior ao estabelecido? ( \( \alpha \)=0,05)
54. O número de disparos de flash que determinado tipo de pilhas assegura (500 para pilhas A1 e 420 para A2) segue uma distribuição aproximadamente normal com \(\sigma\) = 81. Suponha que a empresa F, importadora do respectivo material tinha recebido um grande lote de pilhas para distribuição imediata, mas de que desconhecia o tipo. Foi decidido testar nove pilhas e classificar o lote em função dos resultados obtidos nesta amostra. Tendo-se estipulado \(\alpha\) = 0.05 e a seguintes hipóteses: H0: \(\mu\) =500 contra H1: \(\mu\)=420, a) identifique os erros que podem decorrer da decisão a tomar. Calcule as suas probabilidades; b) se \(\alpha\) fosse fixado em 0.01, que valor resultaria para \(\beta\)? c) poderia justificar o uso de um valor diferente para \(\alpha\)? d) como varia o valor de \(\beta\) se se decidir recolher uma amostra maior? Calcule \(\beta\) se a dimensão da amostra for n = 16; e) que decisão tomaria (\(\alpha\)=0.05) se nas nove pilhas testadas, o no médio de disparos fosse 436?
55. Um comerciante recebe ovos de um determinado aviário, onde os ovos são classificados, consoante o peso, em duas classes. O peso dos ovos da classe A tem distribuição N(\(\mu\)=50; \(\sigma\)=4) e o peso dos ovos da classe B tem distribuição N(\(\mu\)=55; \(\sigma\)=4). O comerciante recebe uma remessa de um milhão de ovos com garantia de serem da classe B e tem um prazo de 2 dias para reclamar, caso considere ter havido engano da parte do aviário. a) Para tomar uma decisão ele analisou 10 ovos cujo peso total foi de 530 gramas. Qual a atitude que o comerciante deve tomar? b) Determine a probabilidade do erro de 2ª espécie (\(\beta\)) e a função potência (\(\pi\)).
56. Numa fábrica funciona uma máquina de empacotamento, que se tem verificado ter uma capacidade de 20 pacotes por minutos. O vendedor deste tipo de máquinas pretende vender uma nova máquina que, embora mais cara, garante uma maior rapidez de empacotamento. Aceitou-se então ficar com a nova máquina à experiência e contou-se o nº de pacotes em períodos de um minuto cada, obtendo-se assim uma amostra causal. Os elementos retirados com base nesta amostra foram os seguintes: $$ \sum_{i=1}^{15} x_i= 315 \sum_{I=1}^{15} x_i^2 = 6622 $$ onde \(x_i\) - número de pacotes no i-ésimo minuto da amostra. Diga se realmente a nova máquina traz vantagens significativas em relação à já instalada.
57. Dois amigos encontram-se: … - Sabes, disseram-me que o preço médio de um apartamento de luxo na zona das Azinheiras não ultrapassa os 100 000 euros. Por esse preço estou seriamente a pensar em comprar um. - Não pode ser! Nessa zona os 9 apartamentos desse tipo que vi custavam: 110; 100; 150; 160; 170; 200; 140; 130 e 100 mil euros. … a) Admitindo um comportamento normal para o preço dos apartamentos referidos, comente o diálogo. (Nível de significância de 1%). b) Determine o valor da função potência para o preço médio de um apartamento de luxo igual a 150 000 euros, esclareça o seu significado.
58. O Secretário de Estado dos Assuntos Sociais afirmou numa conferência de imprensa que o tempo médio de espera para uma consulta de oftalmologia, nos Serviços Médico-Sociais, é de 25 dias. Os jornalistas presentes mostram-se em desacordo, afirmando ser aquela média de 30 dias. Recolheu-se então uma amostra de 36 utentes e encontrou-se um tempo médio de espera de 28 dias com um desvio padrão de 5 dias. a) Teste a hipótese de os jornalistas terem razão contra a hipótese de o Secretário de Estado ter razão para \(\alpha = 0.05\); b) Qual a probabilidade de rejeitar indevidamente Ho.
59. O reitor da Universidade X pretende informar os pais dos futuros alunos, sobre as despesas de um semestre. Uma amostra aleatória de 100 alunos indicou uma despesa média de 1577€, com um desvio padrão de 216€. a) Com um nível de significância de 10%, existe evidência para que a média das despesas, da população estudantil da Universidade X, esteja acima de 1500€? b) Determine os valores da função potência e esclareça o seu significado, para: \(\mu\) = 1600€, 1500€ e 1400€.
60. A esperança média de vida de pessoas do norte de Portugal é igual a 79.5 anos e a das pessoas do sul é igual a 77.4 anos. Qual a probabilidade de que a diferença das médias das amostras, às quais correspondem as características abaixo indicadas, esteja entre –1 e 1? $$ \newcommand\T{\Rule{0pt}{0.5em}} \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Região} & \text{Dimensão da Amostra} & \text{Desvio Padrão} \\ \hline \text{Norte} & 80 & 5.8 \\\hline \text{Sul} & 100 & 6.5 \\\hline \end{array} $$
61. Uma amostra de dimensão n=64 é usada para testar a hipótese de que o valor esperado, \(\mu\), duma v. a. X normal de variância 256 é menor ou igual a 40 contra a hipótese alternativa de que \(\mu\) > 40. a) Se for observada uma amostra com \(\sum_{i=1}^{64}x_i = 3200\), qual a decisão a tomar? b) Determine os valores da função potência para \(\mu\) = 37, 41 e 45 e esclareça o seu significado.
62. Na política de cobranças de uma empresa, definida no início do ano, fixou-se um prazo médio de recebimentos de 60 dias. Com base numa amostra aleatória de 15 facturas, relativas a vendas de idêntico montante, apurou-se um tempo médio de recebimentos de 85 dias, com um desvio padrão de 10 dias. a) A 10% de significância, será de concluir que o prazo médio de recebimentos é superior ao fixado no início do ano? b) Determine, aproximadamente, e interprete o valor da potência do teste para um prazo médio de recebimentos de 75 dias.