Os números índices (ou apenas índices) são indicadores que medem alterações entre grandezas do mesmo tipo ou variações entre grandezas diferentes e aplicam-se no campo da produção, evolução dos preços, custo de vida, salários, registos demográficos, etc.
Como medem variações no tempo e no espaço, permitem sintetizar e apresentar de forma eficaz a natureza das alterações numa ou várias variáveis, sendo mais fácil identificar flutuações referentes a sub-períodos que se repetem ao longo do tempo.
Três tipos de dados:
- Dados cronológicos;
- Dados seccionais;
- Dados em Painel.
Um número índice para o período t com base em 0 é definido do seguinte modo: $$I_{t/0} = \frac{V_{t}}{V_{0}} \times 100$$
Existem os seguintes tipos de números índices:
• Índices simples - uma única variável;
• Índices agregados ou compostos - múltiplas variáveis expressas na mesma unidade de medida;
• Índices sintéticos ou compósitos - múltiplas variáveis expressas em diferentes unidades de medida.
• Índices de preços - medem variações relativas de preços;
• Índices de quantidades - variáveis definidas em unidades físicas;
• Índices de valores - preço × quantidade.
• Transitividade \(I_{t/0}=I_{t/k}\times I_{k/0}\)
Um índice para o período t cuja base é o período 0 pode ser calculado através do produto de dois índices – o do período t com base em k e o do período k com base em 0.
Obs.: \(I_{t/t-1}=\frac{I_{t/0}}{I_{t-1/0}}\)
O índice para o período t com base 0 é igual ao inverso do mesmo índice para o ano zero com base em t.
Qualquer índice para o período t com base em 0 pode ser decomposto no produto dos índices para todos os períodos desde t até 0, cada um deles tendo como base o período imediatamente anterior.
Índice de Preços Agregados Simples
Este índice indica a variação global no preço dos produtos incluídos no índice (corresponde a um índice valor):
$$I_{t/0} = \frac{\sum P_{t}}{\sum P_{0}} \times 100$$
Um índice de Laspeyres utiliza os dados do ano base como ponderadores para o seu cálculo. Essas ponderações podem ser quantidades ou preços, obtendo-se, respectivamente, um índice de preços ou de quantidades. Isto é, quando se ponderam os preços de cada ano pelas quantidades do ano base, o resultado será um índice de preços de Laspeyres e vice-versa.
O índice de Paasche é também um índice composto que utiliza como ponderações os preços ou quantidades relativos ao ano corrente.
$$F^{X}_{t/0}=\sqrt{L^{X}_{t/0}\times P^{X}_{t/0}}$$
Trata-se de uma média geométrica dos índices de Laspeyres e de Paasche. O valor encontrado pelo índice de Fisher constitui um “valor intermédio” entre os relativos aos dois outros índices.
\(IV_{t/0}=\frac{\sum{P_{t}Q_{t}}}{\sum{P_{0}Q_{0}}} \times 100 \rightarrow \) Índice de valor para o período t.
Um índice compósito permite-nos agregar num só valor, itens expressos em diferentes unidades de medidas. A fórmula geral para o seu cálculo é a seguinte: $$IC_{t/0}=\frac{\sum{X_{t} \times W}}{\sum{X_{0} \times W}} \times 100 $$ \(X_{t} -\) valor do item para o período t;
\(X_{0} -\) valor do item para o período 0;
\(W -\) ponderações fixas a aplicar a cada item.
- Cálculo de alterações percentuais para cada período $$\Delta = \frac{I_{t+1}-I_{t}}{I_{t}} \times 100 $$
$$ Precos\; constantes_{t} = \frac{Precos\; correntes}{IP_{t}} \times 100$$
Como medem variações no tempo e no espaço, permitem sintetizar e apresentar de forma eficaz a natureza das alterações numa ou várias variáveis, sendo mais fácil identificar flutuações referentes a sub-períodos que se repetem ao longo do tempo.
Três tipos de dados:
- Dados cronológicos;
- Dados seccionais;
- Dados em Painel.
Considerando dados (séries) cronológicos podemos calcular um número índice através do quociente entre dois valores da mesma variável, referentes a diferentes pontos no tempo e expresso em percentagem.
Um número índice para o período t com base em 0 é definido do seguinte modo: $$I_{t/0} = \frac{V_{t}}{V_{0}} \times 100$$
\(V_{t} \rightarrow \) valor da variável em estudo no período t; \(V_{0} \rightarrow \) valor da variável em estudo no período 0;
TIPOS DE NÚMEROS ÍNDICES
Existem os seguintes tipos de números índices:
• Índices simples - uma única variável;
• Índices agregados ou compostos - múltiplas variáveis expressas na mesma unidade de medida;
• Índices sintéticos ou compósitos - múltiplas variáveis expressas em diferentes unidades de medida.
Uma outra classificação de números índices permite diferenciar entre:
• Índices de preços - medem variações relativas de preços;
• Índices de quantidades - variáveis definidas em unidades físicas;
• Índices de valores - preço × quantidade.
PROPRIEDADES DOS ÍNDICES SIMPLES
• Transitividade \(I_{t/0}=I_{t/k}\times I_{k/0}\)
Um índice para o período t cuja base é o período 0 pode ser calculado através do produto de dois índices – o do período t com base em k e o do período k com base em 0.
Obs.: \(I_{t/t-1}=\frac{I_{t/0}}{I_{t-1/0}}\)
• Reversibilidade \(I_{t/0}=\frac{1}{I_{0/t}}\)
O índice para o período t com base 0 é igual ao inverso do mesmo índice para o ano zero com base em t.
• Encadeamento \(I_{t/0}=I_{t/t-1}\times I_{t-1/t-2}\times I_{t-2/t-3}\times ... \times I_{2/1}\times I_{1/0}\)
Qualquer índice para o período t com base em 0 pode ser decomposto no produto dos índices para todos os períodos desde t até 0, cada um deles tendo como base o período imediatamente anterior.
ÍNDICES AGREGADOS OU COMPOSTOS
Índice de Preços Agregados Simples
Este índice indica a variação global no preço dos produtos incluídos no índice (corresponde a um índice valor):
$$I_{t/0} = \frac{\sum P_{t}}{\sum P_{0}} \times 100$$
Índice de Laspeyres
Um índice de Laspeyres utiliza os dados do ano base como ponderadores para o seu cálculo. Essas ponderações podem ser quantidades ou preços, obtendo-se, respectivamente, um índice de preços ou de quantidades. Isto é, quando se ponderam os preços de cada ano pelas quantidades do ano base, o resultado será um índice de preços de Laspeyres e vice-versa.
\(LP_{t/0}=\frac{\sum{P_{t}Q_{0}}}{\sum{P_{0}Q_{0}}} \times 100 \rightarrow \) Índice de preços de Laspeyres para o período t.
\(LQ_{t/0}=\frac{\sum{P_{0}Q_{t}}}{\sum{P_{0}Q_{0}}} \times 100 \rightarrow \) Índice de quantidades de Laspeyres para o período t.
Índices de Paasche
O índice de Paasche é também um índice composto que utiliza como ponderações os preços ou quantidades relativos ao ano corrente.
\(PP_{t/0}=\frac{\sum{P_{t}Q_{t}}}{\sum{P_{0}Q_{t}}} \times 100 \rightarrow \) Índice de preços de Paasche para o período t.
\(PQ_{t/0}=\frac{\sum{P_{t}Q_{t}}}{\sum{P_{t}Q_{0}}} \times 100 \rightarrow \) Índice de quantidades de Paasche para o período t.
Índice de Fisher
$$F^{X}_{t/0}=\sqrt{L^{X}_{t/0}\times P^{X}_{t/0}}$$
designando x o preço ou a quantidade.
Trata-se de uma média geométrica dos índices de Laspeyres e de Paasche. O valor encontrado pelo índice de Fisher constitui um “valor intermédio” entre os relativos aos dois outros índices.
Índices de Valor
\(IV_{t/0}=\frac{\sum{P_{t}Q_{t}}}{\sum{P_{0}Q_{0}}} \times 100 \rightarrow \) Índice de valor para o período t.
Um índice de valor pode ser calculado a partir do produto de um índice de Laspeyres por um de Paasches: $$IV_{t/0}=LP_{t/0} \times PQ_{t/0}=LQ_{t/0} \times PP_{t/0}$$
Um índice de valor pode também ser calculado a partir do produto de dois índices de Fisher: $$IV_{t/0}= F^{P}_{t/0} \times F^{Q}_{t/0}$$
ÍNDICES COMPÓSITOS OU SINTÉTICOS
Um índice compósito permite-nos agregar num só valor, itens expressos em diferentes unidades de medidas. A fórmula geral para o seu cálculo é a seguinte: $$IC_{t/0}=\frac{\sum{X_{t} \times W}}{\sum{X_{0} \times W}} \times 100 $$ \(X_{t} -\) valor do item para o período t;
\(X_{0} -\) valor do item para o período 0;
\(W -\) ponderações fixas a aplicar a cada item.
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS ÍNDICES
- Cálculo de alterações percentuais para cada período $$\Delta = \frac{I_{t+1}-I_{t}}{I_{t}} \times 100 $$
- Mudança do período base e Ligação de diferentes séries de números índices $$ I_{t/a} = \frac{I_{t/b}}{I_{a/b}} \times 100$$
DEFLAÇÃO DE SÉRIES CRONOLÓGICAS
$$ Precos\; constantes_{t} = \frac{Precos\; correntes}{IP_{t}} \times 100$$